EXERCÍCIO 01

Construção de Superfícies complexas a partir da Morfogénese de Cefalópodes

Tendo em conta que a forma geométrica de cada uma destas conchas é definida por meio de duas diretrizes planas (espirais concêntricas) e por geratrizes definidas por círculos existentes em planos perpendiculares ao plano que contém as directrizes.

Construction of Complex Surfaces from Cephalopod Morphogenesis

Bearing in mind that the geometric shape of each of these shells is defined by means of two planar rails (concentric spirals) and sections defined by existing circles in planes perpendicular to the plane containing the rails.

EX01.1 Morfogénese: Spirula
EX01.2 Morfogénese: Planorbis
EX01.3 Morfogénese: Nautilus
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EX01.1 Morfogénese: Spirula

No caso da Spirula, sabe-se que:

  • a circunferência que envolve toda a geometria tem um raio igual a 15 unidades;
  • o ponto O corresponde ao centro da figura anterior e o ponto A ao seu quadrante direito;
  • pelo ponto O, no centro da figura anterior, passa um eixo vertical com 10 unidades, cujo topo é o ponto P;
  • a espiral exterior tem centro no ponto O e raio maior no ponto A (15 unidades);
  • a espiral interior tem centro também em O e o raio maior é igual a 8 unidades (o seu extremo é o ponto B);
  • o número de voltas de ambas as espirais é igual a 2 e ambas se desenvolvem no sentido horário (do centro para o exterior);
  • a geratriz é definida por uma circunferência vertical, cujo diâmetro passa pelos pontos A e B.

In the case of the Spirula, we know that:

  • the circle surrounding all the geometry has a radius equal to 15 units;
  • point O corresponds to the center of the previous figure and point A to its right quadrant;
  • through point O, in the center of the previous figure, a vertical axis with 10 units passes, whose top is point P;
  • the outer spiral has a center at point O and a larger radius at point A (15 units);
  • the inner spiral also has a center at O ​​and the largest radius is equal to 8 units (its extreme is point B);
  • the number of turns of both spirals is equal to 2 and both develop clockwise (from the center to the outside)
  • the generatrix is ​​defined by a vertical circle, whose diameter passes through points A and B.

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EX01.2 Morfogénese: Planorbis

No caso do Planorbis, sabe-se que:

  • a circunferência que envolve toda a geometria tem um raio igual a 15 unidades;
  • o ponto O corresponde ao centro da figura anterior, o ponto A ao seu quadrante direito e ponto H ao seu quadrante esquerdo;
  • pelo ponto O, passa um eixo vertical com 10 unidades, cujo topo é o ponto P;
  • para se construir a espiral que irá servir de base à morfogénese da concha é necessário fazer 4 construções auxiliares
    • fase I
    • desenhar quatro circunferências verticais cujos diâmetros são respectivamente 1, 2, 4 e 8 unidades;
    • estes círculos são desenhados, partindo do ponto O até terminar no ponto A e os seus quadrantes são coincidentes entre si;
    • estas circunferências fazem parte das geratrizes que definem a forma final;
    • fase ii
    • desenhar mais três circunferências verticaiscujos diâmetros são respectivamente 1,5 ; 3,0; e 6,0 unidades;
    • estes círculos são desenhados, partindo do ponto O para o ponto H e os seus quadrantes também são coincidentes entre si;
    • estas circunferências fazem parte das geratrizes que definem a forma final;
    • fase III
    • defina o pontos B como o quadrante do lado esquerdo do círculo de 6 unidades de diâmetro;
    • defina os pontos D, F para os quadrantes que se intersectam na fase II;
    • defina os pontos G, E, C para os quadrantes que se intersectam na fase I;
    • desenhe vários círculos planos segundo pontos do seu diâmetro (AB, BC, CD, DE, EF, FG e GO);
    • fase IV
    • desenhe uma linha de H a A
  • corte os círculos definidos na fase III pela linha da fase IV, eliminando a parte do quadrante inferior dos círculos AB, CD, EF e GO, e a parte do quadrante superior dos círculos BC, DE e FG.
  • os segmentos resultantes dos cortes definidos anteriormente são as directrizes para o planorbis.

EX01.3 Morfogénese: Nautilus

No caso da Nautilus, sabe-se que:

  • a circunferência que envolve toda a geometria tem um raio igual a 15 unidades;
  • o ponto O corresponde ao centro da figura anterior, o ponto A ao seu quadrante direito e ponto H ao seu quadrante esquerdo;
  • pelo ponto O, passa um eixo vertical com 10 unidades, cujo topo é o ponto P;
  • a espiral directriz é igual ao do exercício 1.2
  • as geratrizes são círculos verticais definidos segundo dois pontos que contêm o respectivo diâmetro
  • serão utilizadas 4 geratrizes, que têm em comum o ponto O e cujo diâmetro é respetivamente de 1, 3, 7 e 15 unidades;
  • a segunda espiral directriz é definida através dos pontos do quadrante superior das 4 geratrizes e pelo ponto O.

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